miércoles, 23 de febrero de 2011

No es una flor...

...es un modelo de geometría hiperbólica!!!










El espacio hiperbólico es un mundo un poco extraño en el que todo se curva hacia fuera y las líneas paralelas no están a una distancia constante sino que se van alejando entre sí cada vez más.  Es lo opuesto a una esfera: la superficie de la esfera es cerrada y es limitada; en un plano hiperbólico la superficie es curva pero no es cerrada sino que el espacio se curva y se aleja cada vez más de sí mismo.


En un plano de los de toda la vida, la distancia aumenta de forma lineal a medida que te vas alejando de un punto (si andas un metro, estás a un metro del punto de salida; andas otro metro y estás a dos, andas otro metro más y estás a tres...). En el espacio hiperbólico, las distancias aumentan de forma exponencial: andas un metro y estás a un metro del punto de salida, pero puede ser que andes otro metro y ya te encuentres a dos metros y medio de distancia del punto inicial, y que andes otro metro y ya te hayas alejado seis; el ejemplo chorra que se me ocurre es que es un poco como lo que pasa en las cintas transportadoras de los aeropuertos: andando pocos pasos, te alejas mucho del punto de partida porque la cinta te lleva). Sólo que si te pasearas por una superficie hiperbólica, eso ocurriría sin cinta transportadora. Y el problema es precisamente ese: cómo representas eso en un modelo sin cinta transportadora?


El concepto es tan difícil de entender que durante más de un siglo, a pesar de que los matemáticos conocían la teoría, fueron incapaces de visualizarlo y de hecho no hay una fórmula que lo describa, de modo que ni siquiera los ordenadores pueden generar un modelo. La Dra. Daina Taimina, de la Universidad de Cornell (Ithaca, NY) en el año 1997 se dio cuenta de que, a través del ganchillo, se podían representar físicamente los modelos matemáticos de espacio hiperbólico que los ordenadores no eran capaces de hacer. Hasta el momento, sólo se habían creado modelos teóricos o modelos construídos a base de ir pegando trozos de papel de forma repetitiva, que eran lo más aproximado para conocer el aspecto que tendría el espacio hiperbólico en la realidad. Pues bien, esta mujer fue capaz por ejemplo de poder mostrar con sus modelos cosas que la teoría decía pero que hasta el momento eran imposibles de ver, como esta: en un plano euclídeo (de los de toda la vida), dados una recta y un punto fuera de ella, sólo hay una recta que pase por ese punto y sea paralela a la primera; en un plano hiperbólico como el de la foto, vemos que se pueden dibujar un par de rectas paralelas a la primera y que pasen por el mismo punto. Y en matemáticas, quien dice dos o tres dice infinitas.


Aunque está basado en ideas matemáticas complejas, el ganchillo hiperbólico es muy simple. Sólo se trata de ir aumentando la cantidad de puntos en cada vuelta. A todos nos ha ocurrido alguna vez que al empezar a hacer un gorro (típica labor en la que hay que ir aumentando puntos en cada vuelta hasta un momento indeterminado en el que hay que parar dependiendo del tamaño de la cabeza en cuestión, grosor de la lana, etc), si seguimos aumentando puntos en cada vuelta sin parar, llega un momento en el que la superficie se curva y deja de ser plana y empieza a hacer como volantes (yo siempre tengo que llegar a ese punto para saber que debo dejar de hacer aumentos y deshacer la última vuelta). Pues bien, si siguiéramos aumentando puntos en cada vuelta, en lugar de un gorro obtendríamos una fantástica superficie hiperbólica. Una forma de hacer una superficie hiperbólica puede ser la de añadir un punto en la segunda vuelta por cada cinco en la primera. Y por cada cinco de la segunda, añadir otro en la tercera. De lo que se trata es de hacer que el número de puntos crezca de forma exponencial. Y como al final cada vuelta es más larga que la anterior pero están todas unidas, la superficie que en principio era plana, empieza a curvarse sobre sí misma.


Yo ayer hice mi primer modelo de geometría hiperbólica aumentando a lo bestia: empecé con dos cadenetas y en las siguientes vueltas fui haciendo un aumento en cada punto. Lo hice así un poco por vagancia: estaba viendo una película y no quería tener que ir contando puntos, así que me fui a lo cómodo y a lo que podía ir haciendo de forma más mecánica: dos puntos en cada punto y andando. Como resultado, los dos puntos de la primera vuelta se convirtieron en cuatro en la segunda, ocho en la tercera... etc. Y así hasta 256 en la octava y última vuelta. El número de puntos por vuelta es de 2^N, siendo N el número de cada vuelta.



Este tipo de formas existen en la naturaleza, por ejemplo en los corales, en las babosas, los pétalos de algunas flores y las hojas de lechuga. Pero los matemáticos, durante muchos años, curiosamente fueron incapaces de verlo. Es curioso cómo a veces ocurre que eres incapaz de ver lo que tienes delante de tus narices aunque sea precisamente lo que estás buscando.

En fin, yo creo que dan unos broches monísimos...


3 comentarios:

  1. Increíble!!

    Y eso que en un primer momento pensé que eran gominolas de ganchillo... :P

    saluditos

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  2. Eres la bomba. Que bien lo explicas y además de manera tan natural y clara.Eres una científica que ganchilla y además lo haces todo bien. Bravo por tí y viva la madre que te p.

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  3. Por supuesto, qué sería de mi sin la madre que me parió y sin el padre que me inventó!

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